Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，A是雙曲線漸近線上的一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|，則漸近線的斜率為（　�。�

• A．

  5

  或-

  5

• B．

  2

  或-

  2

• C．1或-1
• D．

  2

  2

  或-

  2

  2

Answer 1

分析：設出點A的坐標，確定直線AF₁的方程，利用點到直線的距離公式，及原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|，建立方程，即可求得漸近線的斜率．

解答：解：雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x
不妨設A在第一象限，則A（c，

bc

a

），
∴直線AF₁的方程為y-

bc

a

=

bc a

2c

(x-c)
即

b

2a

x-y+

bc

2a

=0
∴原點O到直線AF₁的距離為

bc 2a

b2 4a2 +1

∵原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|，
∴

bc 2a

b2 4a2 +1

=

1

3

c
∴a=

2

b
∴

b

a

=

2

2

故選D．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．