Question

15．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2ax，x≥2\\ 4x-6，x＜2\end{array}$在定義域R上是增函數，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥0
• B． a≤0
• C． $a≤\frac{1}{2}$
• D． a≤-1

Answer 1

分析 由題意可知當x＜2時，f（x）=4x-6，在（-∞，2）單調遞增，恒成立，當x≥2時，由f（x）=x²-2ax，由二次函數的圖象及性質可知：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，即可求得a的取值范圍．

解答 解：由題意可知：當x＜2時，f（x）=4x-6，在（-∞，2）單調遞增，恒成立，
當x≥2時，由f（x）=x²-2ax，
由二次函數的圖象及性質可知：函數在[2，+∞）單調遞增，
則對稱軸x=-$\frac{-2a}{2}$≤2，f（2）≥4×2-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-2a}{2}≤2}\\{4×2-4a≥4×2-6}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{4a≤2}\end{array}\right.$，解得：a≤$\frac{1}{2}$，
a的取值范圍為a≤$\frac{1}{2}$，
故選C．

點評 本題考查二次函數圖象及性質，考查分段函數的單調性與二次函數單調性的應用，考查分類討論思想，屬于中檔題．