Question

若線(xiàn)段P₁P₂為拋物線(xiàn)C：y²=2px(p＞0)的一條焦點(diǎn)弦，F為C的焦點(diǎn)，求證：。

Answer 1

答案：
解析：

證法一：∵F(,0)，若過(guò)F的直線(xiàn)即線(xiàn)段P1P2所在直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，則有|P1F|=|P2F|=p。 ∴ 若線(xiàn)段P1P2所在直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)為k,則此直線(xiàn)為：y=k(x－)(k≠0)，且設(shè) P1（x1,y2),P2(x2,y2)。 由得： k2x2－p(k2+2)x+ ∴x1+x2=    ① x1·x2=             ② 根據(jù)拋物線(xiàn)定義有 |P1F|=x1+,|P2F|=x2+。 ∴|P1P2|=x1+x2+p 則 將①②代入并化簡(jiǎn)得： 證法二： 如圖所示，設(shè)P1、P2、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線(xiàn)l上的射影分別是P1′、P2′、F′，且不妨設(shè)|P2P2′|=n＜m=|P1P1′|,又設(shè)P2點(diǎn)在FF′、P1P1′上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線(xiàn)定義知， |P2F|=n,|P1F|=m,|F′F|=p 又△P2AF∽△P2BP1 ∴ 即 ∴p(m+n)=2mn ∴ 故原命題成立。