Question

已知數(shù)列中，

（Ⅰ）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；；（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）已知數(shù)列中，，像這種分子為單項(xiàng)，分母為多項(xiàng)的遞推關(guān)系，常常采用取倒數(shù)法，即，這樣就得到的遞推關(guān)系，求證：是等比數(shù)列，只需證明等于與無(wú)關(guān)的常數(shù)即可，求的通項(xiàng)公式，由前面證明可知是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故能寫出，從而可得；（Ⅱ）若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍，首先求出，而是數(shù)列的前n項(xiàng)和，故需求的通項(xiàng)公式，由，可得，這是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和，可用錯(cuò)位相減法來(lái)求得，從而求出的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）由知，，又是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，               6分

（Ⅱ），   

，    兩式相減得

                           9分

若n為偶數(shù)，則

若n為奇數(shù)，則

                           13分

考點(diǎn)：等比數(shù)列的判斷，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和．