如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC=1,BC=2,AA1=4.
(1)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF平面AEB1;
(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的余弦值是
2
17
17
,若存在,求CE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由.
(1)證明:取AB1的中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)EG,F(xiàn)G
∵F、G分別是棱AB、AB1中點(diǎn),∴FGBB1,FG=
1
2
BB1

又∵FGEC,EC=
1
2
CC1
,F(xiàn)G=EC,∴四邊形FGEC是平行四邊形,
∴CFEG.
∵CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,
∴CF平面AEB;
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),射線CA,CB,CC1為x,y,z軸正半軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz
則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4)
設(shè)E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量
n1
=(x,y,z)

AB1
=(-1,2,4),
AE
=(-1,0,m)

AB1
n1
AE
n1
,得
-x+2y+4z=0
-x+mz=0
,取z=2,得
n1
=(2m,m-4,2)

∵CA⊥平面C1CBB1,
CA
是平面EBB1的法向量,則平面EBB1的法向量
n2
=
CA
=(1,0,0)

∵二面角A-EB1-B的平面角余弦值為
2
17
17
,
cos<
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
2m
4m2+(m-4)2+4
=
2
17
17
,解得m=1(0≤m≤4).
∴在棱CC1上存在點(diǎn)E,符合題意,此時(shí)CE=1.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,正方體ABCD—A1B1C1D1中,側(cè)面對(duì)角線AB1,BC1上分別有兩點(diǎn)E,F(xiàn),且B1E=C1F.求證:EF∥平面ABCD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD長(zhǎng)為______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,△PAC與△ABC是均以AC為斜邊的等腰直角三角形,AC=4,E,F(xiàn),O分別為PA,PB,AC的中點(diǎn),G為OC的中點(diǎn),且PO⊥平面ABC.
(1)證明:FE平面BOG;
(2)求二面角EO-B-FG的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,己知平行四邊形1BCD中,∠B1D=6三°,1B=6,1D=3,G為CD中點(diǎn),現(xiàn)將梯形1BCG沿著1G折起到1FoG.
(1)求證:直線Co平面1BF;
(2)如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別為線段PB,PC的中點(diǎn),且AD=4,PA=AB=2
(1)求直線EC和面PAD所成的角
(2)求點(diǎn)P到平面AFD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,CC1=3,
CE
=2
EC1

(1)求點(diǎn)D1到平面BDE的距離;
(2)求直線A1B與平面BDE所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中點(diǎn),則異面直線C1E與BC所成的角的余弦值是( 。
A.
10
5
B.
10
10
C.
1
3
D.
2
2
3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?i>ABCD滿足條件        時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案