Question

【題目】已知函數(shù)，，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.

(1)若，求函數(shù)在上的最大值.

(2)若，關(guān)于x的方程有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值范圍.

(3)若對任意的、，，不等式都成立，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）若，則，利用導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合又，可得函數(shù)在上的最大值；

（2）若，關(guān)于的方程有且僅有一個根，即有且只有一個根，令，可得，進而可得當(dāng)時，有且只有一個根．

（3）設(shè)，因為在，單調(diào)遞增，故原不等式等價于在、，，且恒成立，當(dāng)恒成立時，；當(dāng)恒成立時，，綜合討論結(jié)果，可得實數(shù)的取值范圍．

解：（1）若，則，

，

時，，時，，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

又，

故函數(shù)的最大值為．

（2）由題意得：有且只有一個根，

令，則

故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

所以，

因為在單調(diào)遞減，且函數(shù)值恒為正，又當(dāng)時，，

所以當(dāng)或時，有且只有一個根．

即

（3）設(shè)，因為在，單調(diào)遞增，

故原不等式等價于在、，，且恒成立，

所以在、，，且恒成立，

即，在、，且恒成立，

則函數(shù)和都在單調(diào)遞增，

則有，在，恒成立，

當(dāng)恒成立時，因為在單調(diào)遞減，

所以的最大值為，所以；

當(dāng)恒成立時，因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以的最小值為，所以，

綜上：．