Question

設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0），且橢圓上存在點(diǎn)P，使得直線PF₁與直線PF₂垂直．
（I）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（II）設(shè)l是相應(yīng)于焦點(diǎn)F₂的準(zhǔn)線，直線PF₂與l相交于點(diǎn)Q．若，求直線PF₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線PF₁⊥直線PF₂推斷以O(shè)為圓心以c為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，兩個方程聯(lián)立，表示出x²，進(jìn)而根據(jù)0≤x²＜a²確定m的范圍．
（2）設(shè)P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c），根據(jù)直線l的方程求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)可推斷出點(diǎn)P分有向線段所成比為，進(jìn)而根據(jù)Q和F₂的坐標(biāo)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程求得k，直線PF₂的方程可得．
解答：解：（1）∵直線PF₁⊥直線PF₂
∴以O(shè)為圓心以c為半徑的圓：x²+y²=c²與橢圓：有交點(diǎn)．即有解
又∵c²=a²-b²=m+1-1=m＞0
∴
∴m≥1
（2）設(shè)P（x，y），直線PF₂方程為：y=k（x-c）
∵直線l的方程為：
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）
∵
∴點(diǎn)P分有向線段所成比為
∵F₂（，0），Q（）
∴P（）
∵點(diǎn)P在橢圓上∴
∴
直線PF₂的方程為：y=（x-）．
點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．