如圖所示,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù):①a;②a=1;③a;④a=2;⑤a=4.

(1)當(dāng)在BC邊上存在點Q,使PQ⊥QD時,a可以取所給數(shù)據(jù)中的哪些值?請說明理由;

(2)在滿足(1)的條件下,a取所給數(shù)據(jù)中的最大值時,求直線PQ與平面ADP所成角的正切值;

(3)記滿足(1)的條件下的Q點為Qn(n=1,2,3,…),若a取所給數(shù)據(jù)中的最小值時,這樣的點Qn有幾個?試求二面角Qn-PA-Qn+1的大。

答案:
解析:

  探究:(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),

  設(shè)Q(a,x,0)(|BQ|=x,0≤x≤2),

  于是有=(a,x,-2),=(-a,2-x,0).

  由PQ⊥QD,得·=-a2+x(2-x)-2×0=0,

  即x2-2x+a=0,

  此方程有解,則Δ=4-4a2≥0,∴0≤a≤1.

  當(dāng)a=時,方程的解x=或x=,滿足0≤x≤2;

  當(dāng)a=1時,方程的解x=1,也滿足0≤x≤2.

  因此,滿足條件的a的取值為a=或a=1.

  (2)顯然,在滿足(1)的條件下,a取所給數(shù)據(jù)中的最大值時,a=1,此時,由(1)知x=1,Q(1,1,0)為BC的中點,

  作QM⊥AD于M,有QM⊥面PAD,M為AD的中點,

  連接PM,則∠QPM即為PQ與平面PAD所成的角.

  在Rt△QMP中,QM=1,PM=,

  ∴tan∠QPM=,

  即直線PQ與平面ADP所成角的正切值為

  (3)在滿足(1)的條件下,a取所給數(shù)據(jù)中的最小值時,a=,由(1)知,此時x=或x=,

  ∴滿足條件的點Q有兩個:Q1(,,0),Q2(,0).

  此時,所求的二面角應(yīng)為Q1-PA-Q2(如圖所示).

  ∵PA⊥面ABCD,

  ∴PA⊥Q1A,PA⊥Q2A,

  ∴∠Q1AQ2即為所求二面角的平面角,

  

  規(guī)律總結(jié):一般來說,設(shè)存在這樣的點,然后設(shè)出此點的空間坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的方程是否有解問題,若有解,則存在這樣的點,否則,不存在.


練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,某市擬在道路的一側(cè)修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段ABC,該曲線段為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,
π
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<φ<π),x∈[-3,0]的圖象,且圖象的最高點為B(-1,3
2
);賽道的中間部分為
3
千米的水平跑到CD;賽道的后一部分為以O(shè)圓心的一段圓弧
DE

(1)求ω,φ的值和∠DOE的值;
(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,如圖所示,矩形的一邊在道路AE上,一個頂點在扇形半徑OD上.記∠POE=θ,求當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時θ的值.

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如圖所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=
π2
,P為AB的中點且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直,CD=2.
(1)求證:AD∥平面PCE;
(2)求三棱錐P-ACE的高.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=
π2
,P為AB的中點且△ABC與矩形BCDE所在的平面互相垂直,CD=2.
(1)求證:AD∥平面PCE;
(2)求二面角A-CE-P的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年江蘇省南京市金陵中學(xué)高考數(shù)學(xué)預(yù)測試卷(2)(解析版) 題型:解答題

如圖,某市擬在道路的一側(cè)修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段ABC,該曲線段為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<φ<π),x∈[-3,0]的圖象,且圖象的最高點為B(-1,3);賽道的中間部分為千米的水平跑到CD;賽道的后一部分為以O(shè)圓心的一段圓弧
(1)求ω,φ的值和∠DOE的值;
(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,如圖所示,矩形的一邊在道路AE上,一個頂點在扇形半徑OD上.記∠POE=θ,求當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時θ的值.

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(本小題滿分14分)

如圖,某市擬在道路的一側(cè)修建一條運動賽道,賽道的前一部分為曲線段ABC,該曲線段為函數(shù)y=(A>0,>0,),x∈[-3,0]的圖象,且圖象的最高點為B(-1,);賽道的中間部分為千米的水平跑到CD;賽道的后一部分為以O(shè)圓心的一段圓弧

 (1)求的值和∠DOE的值;

(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,如圖所示,矩形的一邊在道路AE上,一個頂點在扇形半徑OD上.記∠POE=,求當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時的值.

 

 

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