.(本小題滿分14分)
已知橢圓的左焦點為,離心率e=,M、N是橢圓上的動
點。
(Ⅰ)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)動點P滿足:,直線OM與ON的斜率之積為,問:是否存在定點,
使得為定值?,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由。
(Ⅲ)若在第一象限,且點關(guān)于原點對稱,點軸上的射影為,連接 并延長
交橢圓于點,證明:;
解:(Ⅰ)由題設(shè)可知:……………………………2分
……………………………3分
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:……………………………4分
(Ⅱ)設(shè),由可得:
……………………………5分
由直線OM與ON的斜率之積為可得:
 ,即……………………………6分
由①②可得:
M、N是橢圓上,故
,即……………..8分
由橢圓定義可知存在兩個定點,使得動點P到兩定點距離和為定值;….9分;
(Ⅲ)設(shè)
由題設(shè)可知………..10分
由題設(shè)可知斜率存在且滿足………….③
…………………12分
將③代入④可得:
……⑤………….13分
在橢圓,故
所以…………14分
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓C: 過點(0,4),(5,0).
(1)求C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被橢圓C所截線段的中點坐標(biāo)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)已知橢圓的左、右焦點分別為離心率,點在且橢圓E上,
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,求點橫坐標(biāo)的取值范圍.
(Ⅲ)試用表示的面積,并求面積的最大值

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一個圓柱形容器里裝有水,放在水平地面上,現(xiàn)將該容器傾斜,這時水面是一個橢圓面(如圖),當(dāng)圓柱的母線與地面所成角時,橢圓的離心率是         

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設(shè)分別是橢圓的左右焦點,若在其右準(zhǔn)線上存在點,使為等腰三角形,則橢圓的離心率的取值范圍是( 。
A.B.C.D.

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已知、是橢圓的左右焦點,上一點,,則的離心率的取值范圍是(  )
A.B.C.D.

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橢圓的焦點在y軸上,一個焦點到長軸的兩端點的距離之比是1∶4, 短軸長為8, 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是               ;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

橢圓的離心率為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知中心在原點,焦點在x軸的橢圓的離心率為,橢圓上一點P到兩個焦點的距離之和為8,
(1)求橢圓的方程
(2)求與上述橢圓共焦點,且一條漸近線為y=x的雙曲線方程

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