Question

已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，且在x軸上方，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[，]。
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）當(dāng)e取最大值時(shí)，過(guò)F₁，F(xiàn)₂，P的圓Q的截y軸的線段長(zhǎng)為6，求圓Q的方程；
（3）在（2）的條件下，過(guò)橢圓右準(zhǔn)線L上任一點(diǎn)A引圓Q的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，試探究直線MN是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：由相似三角形知，，，
∴。
(1)，
∴，在上單調(diào)遞減，
∴時(shí)，最小，時(shí)，最小，
∴，∴。
(2)當(dāng)時(shí)，，∴，∴，
∵，
∴是圓的直徑，圓心是的中點(diǎn)，
∴在y軸上截得的弦長(zhǎng)就是直徑，∴=6，
又，
∴，
∴，圓心Q（0，1），半徑為3，。
(3)橢圓方程是，右準(zhǔn)線方程為，
∵直線AM，AN是圓Q的兩條切線，
∴切點(diǎn)M，N在以AQ為直徑的圓上。
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴該圓方程為，
∴直線MN是兩圓的公共弦，兩圓方程相減，得，
這就是直線MN的方程，
該直線化為：，
∴，∴直線MN必過(guò)定點(diǎn)。