Question

（2013•北京）已知A，B，C是橢圓W：

x2

4

+y2=1上的三個點，O是坐標原點．
（Ⅰ）當點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；
（Ⅱ）當點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)B的坐標為（2，0）且AC是OB的垂直平分線，結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點的坐標，從而得到線段AC的長等于

3

．再結(jié)合OB的長為2并利用菱形的面積公式，即可算出此時菱形OABC的面積；
（II）若四邊形OABC為菱形，根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解，算出A、C的橫坐標滿足

3x2

4

=r²-1，從而得到A、C的橫坐標相等或互為相反數(shù)．再分兩種情況加以討論，即可得到當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．

解答：解：（I）∵四邊形OABC為菱形，B是橢圓的右頂點（2，0）
∴直線AC是BD的垂直平分線，可得AC方程為x=1
設(shè)A（1，t），得

12

4

+t2=1，解之得t=

3

2

（舍負）
∴A的坐標為（1，

3

2

），同理可得C的坐標為（1，-

3

2

）
因此，|AC|=

3

，可得菱形OABC的面積為S=

1

2

|AC|•|B0|=

3

；
（II）∵四邊形OABC為菱形，∴|OA|=|OC|，
設(shè)|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C兩點是圓x²+y²=r²
與橢圓W：

x2

4

+y2=1的公共點，解之得

3x2

4

=r²-1
設(shè)A、C兩點橫坐標分別為x₁、x₂，可得A、C兩點的橫坐標滿足
x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

，或x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，
①當x₁=x₂=

2 3

3

•

r2-1

時，可得若四邊形OABC為菱形，則B點必定是右頂點（2，0）；
②若x₁=

2 3

3

•

r2-1

且x₂=-

2 3

3

•

r2-1

，則x₁+x₂=0，
可得AC的中點必定是原點O，因此A、O、C共線，可得不存在滿足條件的菱形OABC
綜上所述，可得當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．

點評：本題給出橢圓方程，探討了以坐標原點O為一個頂點，其它三個頂點在橢圓上的菱形問題，著重考查了菱形的性質(zhì)、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．