Question

已知矩形ACC₁A₁中，AA₁=2，AC=4，B是AC上動點，過B作BB1∥A

A

1

交A₁C₁于B₁，沿BB₁將矩形BCC₁B₁折起，連接AC，A₁C₁．
（1）求三棱柱體積的最大值．
（2）滿足條件（1）時，D為AC中點，求證AC₁⊥面A₁BD．
（3）滿足條件（1）（2）時，E為CC₁中點，求二面角A₁-BD-E的大�。�

Answer 1

分析：（1）把矩形沿BB₁將矩形BCC₁B₁折起，得到的是直三棱柱，根據(jù)AC長度一定，所以當(dāng)B是AC中點時，|AB||BC|最大，在此基礎(chǔ)上，AB和BC垂直時底面積最大，則棱柱體積最大；
（2）在（1）的條件下，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D為斜邊AC的中點，能征得BD⊥AC₁，然后通過解三角形求出以AC₁⊥A₁D，利用線面垂直的判定使問題得證；
（3）由（2）可知∠A₁DE為二面角A₁-BD-E所成的平面角，在三角形A₁DE中，求出三邊后即可得到二面角A₁-BD-E的大�。�

解答：（1）解：依題意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，其體積V=S_△ABC×AA₁．
而S△ABC=

1

2

|AB||BC|sin∠ABC．
因為|AB|+|BC|為定值，所以當(dāng)|AB|=|AC|時，|AB||BC|最大．
要使體積最大，即△ABC面積最大，只有當(dāng)∠ABC=90°時，面積最大．
此時S=

1

2

×2×2=2．
所以三棱柱體積的最大值為2×2=4；
（2）證明：滿足（1）時，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D為斜邊AC的中點，
則tan∠AA1D=

AD

AA1

=

2

2

，tan∠CAC1=

CC1

AC

=

2

2 2

=

2

2

則∠AA₁D=∠CAC₁那么∠CAC₁+∠ADA₁=∠AA₁D+∠ADA₁=90°，所以AC₁⊥A₁D
又BD⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，所以BD⊥面ACC₁A₁，而AC₁?面ACC₁A₁，
所以AC₁⊥BD，又A₁D∩BD=D．所以AC₁⊥平面A₁BD
（3）解：由（2）知∠A₁DE為二面角A₁-BD-E所成的平面角．　
A1D=

A A 2 1 +AD2

=

4+2

=

6

，
DE=

DC2+CE2

=

( 2 )2+12

=

3

，
A1E=

A1C12+C1E2

=

(2 2 )2+12

=3．
在三角形A₁DE中，A1D2+DE2=A1E2，則∠A₁DE=90°
所以二面角A₁-BD-E的大小為90°．

點評：本題考查了柱錐體的體積，考查了線面垂直的判定，考查了二面角平面角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答此題的關(guān)鍵是明確何時直三棱柱的底面積最大，這是學(xué)生不易想到的地方，是該題的難點所在，利用角的關(guān)系證明兩線垂直也是該題的一個亮點．此題屬中檔題．