Question

已知曲線f（x）=2x-

1

x

+1上一點P處的切線與x+3y-2=0垂直，求過P的切線方程．

Answer 1

分析：根據(jù)x+3y-2=0的斜率，算出切線的斜率等于3，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點P的橫坐標(biāo)為±1．再利用直線方程的點斜式分情況討論，即可得到所求過P的切線方程．

解答：解：設(shè)點P（x₀，y₀）
∵切線與直線x+3y-2=0垂直
∴切線的斜率為k=

-1

- 1 3

=3
由此可得：曲線在點P處的導(dǎo)數(shù)y'=2+

1

x02

=3，解之得x₀=±1．
①當(dāng)x₀=1時，代入函數(shù)表達式得y₀=f（1）=2，
∴切點P的坐標(biāo)為（1，2），
利用點斜式方程，得到切線方程為y-2=3（x-1），化簡得y=3x-1
②當(dāng)x₀=-1時，類似①的方法可得所求切線方程為y=3x+3
綜上所述，可得所求過P的切線方程．為y=3x-1或y=3x+3．

點評：本題給出函數(shù)圖象的一條切線與已知直線垂直，求切線的方程，著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線方程的幾種形式等知識，屬于中檔題．