【題目】如圖,在多面體中, 平面 平面,且是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形, 與平面所成角的余弦值為, 是線段上一點(diǎn).

(Ⅰ)若是線段的中點(diǎn),證明:平面平面;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)利用面面垂直的判定定理即可證明;

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,利用兩個(gè)法向量的夾角即可求解

試題解析:(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連接

平面, 平面,

∴平面平面

是等邊三角形,

,

平面,平面平面

平面

在平面上的射影, 即是與平面所成角.

與平面所成角的余弦值為,

與平面所成角的正弦值為,

,而,

,∴

法一:取的中點(diǎn),連接

是等邊三角形, ∴

平面 平面,∴

平面,且

平面

是線段的中點(diǎn),

,且

平面, 平面 , ,

,且

,且,四邊形是平行四邊形,則

平面.又平面,

∴平面平面

法二:取的中點(diǎn)為,以為原點(diǎn), 軸, 軸, 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則 , , ,

, ,

, ,

, ,

平面,且

所以平面

平面,

∴平面平面

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí),可得平面,

則可取平面的一個(gè)法向量,

設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,

, ,

所以

,則, ,即,

,

所以二面角的平面角的正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù), ,已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.

(Ⅰ)若方程內(nèi)存在唯一的根,求出的值;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)表示中的較小值),求的最大值.

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(1)設(shè)MPC上的一點(diǎn),求證:平面MBD⊥平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

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(Ⅰ)設(shè)月用電度時(shí),應(yīng)交電費(fèi)元,寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)小明家第一季度繳納電費(fèi)情況如下:

月份

一月

二月

三月

合計(jì)

交費(fèi)金額

76元

63元

45.6元

184.6元

問(wèn)小明家第一季度共用電多少度?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球,現(xiàn)從甲乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球,球的標(biāo)號(hào)分別記做a,b,每個(gè)球被取出的可能性相等.

(1)求a+b能被3整除的概率;

(2)若|a-b|≤1則中獎(jiǎng),求中獎(jiǎng)的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校在高一年級(jí)學(xué)生中,對(duì)自然科學(xué)類(lèi)、社會(huì)科學(xué)類(lèi)校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查.現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,其中男生名;在這名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)的男生、女生均為名.

(1)試問(wèn):從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取人,抽到男生的概率約為多少?

(2)根據(jù)抽取的名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下列列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為科類(lèi)的選擇與性別有關(guān)?

選擇自然科學(xué)類(lèi)

選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附: ,其中.

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【題目】分別根據(jù)下列條件,求對(duì)應(yīng)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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