對于四面體ABCD ，給出下列四個命題：①若AB=AC，BD=CD，則BC⊥AD;②若AB=CD，AC=BD，則BC⊥AD;③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD;④若AB⊥CD，BD⊥AC，則BC⊥AD.其中真命題的序號是__________（寫出所有真命題的序號）.

①④?

解析：①為真命題，證明如下：如圖，取BC中點(diǎn)M，連結(jié)AM、DM.?

由AB=AC，DB=DC，得AM⊥BC，DM⊥BC.?

故BC⊥面AMD，BC⊥AD.所以命題①為真命題.?

④為真命題，證明如下：設(shè)點(diǎn)A在平?

面BCD上的射影為點(diǎn)H，連結(jié)AH、BH、CH、DH,如圖所示.?

由AH⊥面BCD，AB⊥CD，得BH⊥CD.同理可得CH⊥BD.?

故H為△BCD的垂心，得HD⊥BC.?

又由三垂線定理逆定理可知BC⊥AD.所以命題④為真命題.?

②③都是假命題，可用特例結(jié)合反證法來證明.?

如圖，設(shè)AB=CD=1，AC=BD=2，AB⊥AC，BD⊥CD，作AN⊥BC于N，連結(jié)ND.假設(shè)BC⊥AD,則BC⊥平面NAD,得BC⊥ND.?

在Rt△ABC中，BN=，??

在Rt△BDC中，BN=，兩者相矛盾，假設(shè)不正確，即命題②③都是假命題.?

綜上，真命題的序號是①④.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、對于四面體ABCD，下列命題正確的序號是
①④⑤
．
①相對棱AB與CD所在的直線異面；
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)；
⑤最長棱必有某個端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

15、對于四面體ABCD，下列命題正確的是
①④⑤
．（寫出所有正確命題的編號）．
①相對棱AB與CD所在的直線是異面直線；
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；
④任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；
⑤分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、對于四面體ABCD，有如下命題
①棱AB與CD所在的直線異面；
②過點(diǎn)A作四面體ABCD的高，其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線異面；
④分別作三組相對棱的中點(diǎn)連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)，
其中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、對于四面體ABCD，下列命題正確的是
①④
．（寫出所有正確命題的編號）
①相對棱AB與CD所在的直線異面
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足必是△BCD的三條高線的交點(diǎn)
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線必異面
④分別作三組相對棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以下五個命題中，正確命題的個數(shù)是
3
3
．
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若a，b，c為空間中不重合的三條直線，若a⊥c，b⊥c，則a∥b；
③對于四面體ABCD，任何三個面的面積之和都大于第四個面的面積；
④對于四面體ABCD，相對棱AB 與CD 所在的直線是異面直線；
⑤各個面都是三角形的幾何體是三棱錐．

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