在周長(zhǎng)為定值的中，已知，且當(dāng)頂點(diǎn)位于定點(diǎn)時(shí)，有最小值為.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)的軌跡方程.(2)過點(diǎn)作直線與(1)中的曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值的集合.

的最小值的集合為空集.


解析:

(1) 以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) |CA|+|CB|=2a(a>3)為定值，所以C點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，所以焦距 2c=|AB|=6.

 因?yàn)?

又 ，所以 ，由題意得 .

此時(shí)，|PA|=|PB|，P點(diǎn)坐標(biāo)為 P(0，±4).所以C點(diǎn)的軌跡方程為  

(2) 不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).當(dāng)直線MN的傾斜角不為900時(shí)，設(shè)其方程為 y=k(x+3) 代入橢圓方程化簡(jiǎn)，得

顯然有 △≥0， 所以

而由橢圓第二定義可得

只要考慮 的最小值，即考慮取最小值，顯然.

當(dāng)k=0時(shí)，取最小值16.

當(dāng)直線MN的傾斜角為900時(shí)，x1=x2=-3,得

但 ，故，這樣的M、N不存在，即的最小值的集合為空集.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在周長(zhǎng)為定值的△ABC中，已知AB=6，且當(dāng)頂點(diǎn)C位于定點(diǎn)P時(shí)，cosC有最小值為
725
．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）（理）過點(diǎn)A作直線與（Ⅰ）中的曲線交于M，N兩點(diǎn)，求|BM|•|BN|的最小值的集合．
（文）當(dāng)點(diǎn)Q在（Ⅰ）中的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求|PQ|的最大值的集合．

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(本小題滿分14分）在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值.

(1)以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程.

(2)過點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江西省高二下學(xué)期第一次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分14分)在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值.

(1) 以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線的方程；

(2) 過點(diǎn)作圓的切線交曲線于，兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在周長(zhǎng)為定值的中，已知，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線G,且當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有最小值．

（1）以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標(biāo)系，求曲線G的方程．

（2）過點(diǎn)（m,0）作圓x2＋y2＝1的切線l交曲線G于M，N兩點(diǎn)．將線段MN的長(zhǎng)|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值．

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