Question

如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為點(diǎn)在邊所在直線上．

（I）求邊所在直線的方程；

（II）求矩形外接圓的方程；

（III）若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．

 

 

Answer 1

【答案】

（I）．

（II）矩形外接圓的方程為．

（III）動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為

【解析】解：（I）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052403013964065544/SYS201205240304105781833207_DA.files/image007.png">邊所在直線的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．

又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

所以邊所在直線的方程為．

．

（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)榫匦?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052403013964065544/SYS201205240304105781833207_DA.files/image002.png">兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為．

所以為矩形外接圓的圓心．

又．

從而矩形外接圓的方程為．

（III）因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，

所以，

即．

故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支．

因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距．

所以虛半軸長(zhǎng)．

從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為