橢圓C的中心為原點(diǎn)， 右焦點(diǎn)F（，0）， 以短軸的兩端點(diǎn)及F為頂點(diǎn)的三角形恰為等邊三角形. 

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓C內(nèi)的一點(diǎn)P（0，）作直線l交橢圓C于M、 N，求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程；

（3）在（2）條件下，求△OMN的面積最大值. 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

        ∵ 右焦點(diǎn)為F（，0）  ∴   

        又∵ △B1FB2為正三角形   ∴

        結(jié)合  得 ，  

        ∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ………………………………… 4分

   （2）設(shè)Q（x，y），M（，），N（，）

        當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為

        代入  得   

        ∴ ， ……………………  6分

        ∴   

消去k得  …………………………… 8分

又∵ k不存在時(shí)，點(diǎn)Q為（0，0）也滿足上述方程，

∴ 線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程是  ………   9分

   （3）由（2）知，M（，），N（，），直線l的方程為

代入 得

∴ ，

∴

 ………………………………………………… 11分

又∵ 原點(diǎn)O到直線l的距離為

∴  ………………  12分

設(shè)

∴

∴ △OMN面積的最大值為 ………………………………………   14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1F2在x軸上，離心率為
2
2
．過Fl的直線交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，短軸長(zhǎng)為2
2
，過F1的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為
y2
16
+
x2
2
=1
y2
16
+
x2
2
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•深圳一模）已知橢圓C 的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x 軸上，離心率為
3
2
，且點(diǎn)(1，
3
2
)在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，橢圓C 的長(zhǎng)軸為AB，設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，點(diǎn)Q 滿足
PQ
=
HP
，直線AQ與過點(diǎn)B 且垂直于x 軸的直線交于點(diǎn)M，
BM
=4
BN
．求證：∠OQN為銳角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)F（1，0）是它的一個(gè)焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，
OA
•
OB
=
1
2

（I）求橢圓C的方程；
（II）已知點(diǎn)P為橢圓的上頂點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)t使
PA
+
PB
=t
PF
成立，求實(shí)數(shù)t的值和直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且橢圓C與橢圓C1：
x2
4
+
y2
8
=1的離心率相同，過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為4
2
，那么橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
x2
2
+y2=1
．

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