Question

【題目】Fibonacci數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因?yàn)楫?dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，其相鄰兩項(xiàng)中的前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值越來越接近黃金分割數(shù)．已知Fibonacci數(shù)列的遞推關(guān)系式為．

（1）證明：Fibonacci數(shù)列中任意相鄰三項(xiàng)不可能成等比數(shù)列；

（2）Fibonacci數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，記為{bn}，證明：{bn＋1-H2·bn}為等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）利用反證法，假設(shè)存在，，三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，進(jìn)而由已知關(guān)系證得是無(wú)理數(shù)，這與其遞推公式中反應(yīng)的為有理數(shù)矛盾，得證；

（2）由題表示，進(jìn)而由已知的遞推關(guān)系表示出的遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列，進(jìn)而由一一對(duì)應(yīng)關(guān)系計(jì)算出對(duì)應(yīng)參量，最后由等比數(shù)列定義得證.

（1）證明：（反證法）假設(shè)存在，，三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，

所以，所以，解得，

由條件可知Fibonacci數(shù)列的所有項(xiàng)均大于0，所以，

又Fibonacci數(shù)列的所有項(xiàng)均為整數(shù)（由遞推公式），所以應(yīng)該為有理數(shù)，

這與（無(wú)理數(shù)）矛盾（其相鄰兩項(xiàng)中的前項(xiàng)與后項(xiàng)的比值越來越接近黃金分割數(shù)，而不是恰好相等），

所以假設(shè)不成立，故原命題成立．

（2）證明：由條件得，，

所以，

即，

設(shè)，則或

所以或

所以，所以為等比數(shù)列，公比為．