Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作一條垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓相交于R、S，若線(xiàn)段RS的長(zhǎng)為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q（t，m）是直線(xiàn)x=9上的點(diǎn)，直線(xiàn)QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線(xiàn)MN
必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）實(shí)際上，第（2）小題的結(jié)論可以推廣到任意的橢圓、雙曲線(xiàn)以及拋物線(xiàn)，請(qǐng)你對(duì)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）寫(xiě)出一個(gè)更一般的結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

解：（1）依題意，橢圓過(guò)點(diǎn)（2，），故，a²-b²=4，解得a²=9，b²=5，故橢圓C的方程為．
（2）設(shè)Q（9，m），直線(xiàn)QA的方程為y=（x+3），代入橢圓方程，整理得（80+m²）x²+6x+9m²-720=0，
設(shè)M（x₁，y₁），則-3x₁=，解得x₁=，y₁=（x₁+3）=，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．
同理，直線(xiàn)QB的方程為y=（x-3），代入橢圓方程，整理得（20+m²）x²-6x+9m²-180=0，
設(shè)N（x₂，y₂），則3x₂=，解得x₂=，y₂=（x₁-3）=-，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，-）．
①若，解得m²=40，直線(xiàn)MN的方程為x=1，與x軸交與（1，0）點(diǎn)；
②若m²≠40，直線(xiàn)MN的方程為y+=（x-），令y=0，解得x=1，．
綜上所述，直線(xiàn)MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)（1，0）．
（3）結(jié)論：已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)為O，P為直線(xiàn)x=-q（q≠0）上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作X軸的平行線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M，直線(xiàn)OP與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)N，則直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)（q，0）．
證明：設(shè)P（-q，m），則M（，m），直線(xiàn)OP的方程為y=-x，代入y²=2px，得y²+y=0，可求得N（，-），
直線(xiàn)MN的方程為y-m=（x-），令y=0，解得x=q，即直線(xiàn)MN必過(guò)定點(diǎn)（q，0）．
分析：（1）由題意得，c=2，故a²-b²=4，又橢圓過(guò)點(diǎn)（2，），代入橢圓方程，列方程求解即可．
（2）設(shè)出直線(xiàn)QA的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理，表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后討論直線(xiàn)MN與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)．
（3）類(lèi)比（2）中的結(jié)論，將橢圓改成拋物線(xiàn)，證明與（2）類(lèi)似：設(shè)出P、M的坐標(biāo)，利用直線(xiàn)OP的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的方程，從而MN與x軸的交點(diǎn)可求．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意運(yùn)用方程思想、分類(lèi)討論、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力、運(yùn)算技巧、邏輯推理能力，難度較大．