Question

（2009•成都二模）已知空間向量

OA

=(1，K，0)(k∈Z)，|

OA

| ≤3，

OB

=(3，1，0)，O為坐標原點，給出以下結(jié)論：①以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，當(dāng)且僅當(dāng)k=2時，|

OC

|取得最小值；②當(dāng)k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為4x-2y-5=0，其軌跡是一條直線；③若

OP

=(0，0，1)，則三棱錐O-ABP體積的最大值為

7

6

；④若

OP

=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概率為

2

5

．其中，所有正確結(jié)論的應(yīng)是

④

．

Answer 1

分析：對于①，利用向量加法的平行四邊形法則得出

OC

的坐標，從而求出|

OC

|²=16+（k+1）²，當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時，|

OC

|取得最小值；故①錯；對于②，當(dāng)k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個平面；故②錯；③若

OP

=(0，0，1)，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，只須S_△OAB最大即可，下面求出其最大值即可．④若

OP

=（0，0，1），則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形，只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，再探討在什么情況下其是直角結(jié)合概率公式計算即得．

解答：解：

OC

=

OA

+

OB

=（1，k，0）+（3，1，0）=（4，k+1，0），
∴|

OC

|²=16+（k+1）²，當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時，|

OC

|取得最小值；故①錯；
對于②，當(dāng)k=2時，到A和點B等距離的動點P（x，y，z）的軌跡方程為線段AB的中垂面，其軌跡是一個平面；故②錯；
③若

OP

=(0，0，1)，要使得三棱錐O-ABP體積的最大，
由于三棱錐O-ABP體積=

1

3

×|

OP

|×S_△OAB=

1

3

S_△OAB，
故只須S_△OAB最大即可，
在xOy平面內(nèi)考慮，此時A（1，2），cos∠AOB=

OA • OB

| OA ||  OB |

=

5

5 • 10

=

2

2

，∴∠AOB=45°．
S_△OAB最大=

1

2

×|

OA

|×|

OB

|sin∠AOB=

1

2

×

5

×

10

sin45°=

5

6

．故錯；
④若

OP

=（0，0，1），則要使得三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形，
只須在三角形OAB中，∠OAB為直角即可，
如圖，由于點A只能在M，N，S，P，Q五點取得，有5種取法，
而使得∠OAB為直角的點是M，Q，有2種取法，
則三棱錐O-ABP各個面都為直角三角形的概為

2

5

．正確．
其中，所有正確結(jié)論的應(yīng)是④．
故答案為：④．

點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用、三棱錐的幾何特征、向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．