(上海春卷20)已知函數(shù)f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠0)
(1)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)是其本身,求a的值;
(2)當a>1時,求函數(shù)y=f(x)+f(-x)的最大值.

解:(1)∵函數(shù)f(x)=loga(8-2x),∴8-2x =af(x),x=
故反函數(shù)為 y=,∴l(xiāng)oga(8-2x)=,∴a=2.
(2)當a>1時,由題意知,8-2x>0,∴x<3,函數(shù)y=f(x)+f(-x)的定義域(-3,3),
函數(shù)y=f(x)+f(-x)=loga(8-2x)+=,
∴2x+2-x≥2,當且僅當x=0時,取等號.∴0<65-8(2x+2-x )≤49,
當a>1時,函數(shù)y=f(x)+f(-x)在x=0處取得最大值loga49
分析:(1)先求出反函數(shù)的解析式,利用反函數(shù)和原函數(shù)的解析式相同,求出a的值.
(2)當a>1時,先求出函數(shù)的定義域,化簡函數(shù)的解析式,利用基本不等式求出最值.
點評:本題考查求函數(shù)的反函數(shù)的方法,對數(shù)式的運算性質,基本不等式的應用.
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