Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1 ， a3 ， a2+14成等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=（﹣1）n ，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：等比數(shù)列{an}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差數(shù)列，

∴2q2=1+q+14，解得q=3，

∴an=3n﹣1．

∵數(shù)列{bn}滿足a1b1+a2b2+…+anbn=（n﹣1）3n+1（n∈N*）．

∴n=1時(shí)，a1b1=1，解得b1=1．

n≥2時(shí)，a1b1+a2b2+…+an﹣1bn﹣1=（n﹣2）3n﹣1+1，

可得：anbn=（2n﹣1）3n﹣1，∴bn=2n﹣1．（n=1時(shí)也成立）．

∴bn=2n﹣1．

（2）解：cn=（﹣1）n =（﹣1）n =（﹣1）n ，

∴n=2k（k∈N*）時(shí)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=﹣ + +…﹣ + = = ．

n=2k﹣1（k∈N*）時(shí)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=Tn+1﹣cn+1= ﹣ =﹣ ．

∴Tn= ．

【解析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系即可得出．（2）cn=（﹣1）n =（﹣1）n ，對(duì)n分類討論即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．