Question

下面的一組圖形為側棱SA垂直于底面ABCD的某一四棱錐S-ABCD的側面與底面，畫出四棱錐S-ABCD的空間圖形并研究
（I）求直線SC與平面SAD所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-SC-D的大小；
（Ⅲ）求此四棱錐S-ABCD外接球半徑與內切球半徑之和．

Answer 1

（I）如圖所示，由題意，SA=AB=a，SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD內的交線，∴SA⊥底面ABCDSA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
則CD⊥平面SAD，∴∠DSC為直線SC與平面SAD所成的角，
∵CD=a，SD=

2

a
∴tan∠DSC=

2

2

∴直線SC與平面SAD所成的角為arctan

2

2

；
（II）作BE⊥SC，垂足為E，連接DE，則DE⊥SC，
∴∠BED為二面角B-SC-D的平面角
∵BC=a，SB=

2

a，∴SC=

3

a
∴BE=

a• 2 a

3 a

=

6

3

a
在△BED中，cos∠BED=

( 6 3 a)2+( 6 3 a)2-2a2

2• 6 3 a• 6 3 a

=-

1

2

∴∠BED=120°；
（III）SC為S-ABCD外接于球的直徑，SC=

3

a，∴半徑為

3

2

a
設內切球半徑為r，則

1

3

•(

1

2

a2×2+

1

2

a•

2

a×2)r=

1

3

×a2×a
∴r=(

2

-1)a
∴四棱錐S-ABCD外接球半徑與內切球半徑之和為

3

2

a+(

2

-1)a．