Question

已知函數(shù)f(x)=

x

ax-1

的圖象過點（2，2）
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=

1

x

，則g(x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可與函數(shù)f（x）的圖象重合；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在（1，5]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知函數(shù)f(x)=

x

ax-1

的圖象過點（2，2），構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程即可求出a值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用函數(shù)的圖象變換法則，分析g(x)=

1

x

與f （x）=

x

x-1

解析式的關(guān)系，即可得到平移變換的方法；
（3）由（1），（2）函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，分析出函數(shù)在區(qū)間（1，5]上的單調(diào)性，即可得到h（x）在（1，5]上的最小值．

解答：解：（1）∵f （x）=

x

ax-1

的圖象過點（2，2）
∴

2

2a-1

=2，解得：a=1；
∴f （x）=

x

x-1

，
（2）又f （x）=

(x-1)+1

x-1

=1+

1

x-1

，
∴可將g （x）=

1

x

的圖象向右平移一個單位，得到y(tǒng)=

1

x-1

的圖象，然后再把y=

1

x-1

的圖象向上平移一個單位，即可與f （x）的圖象重合；
（3）h （x）=f （x）•g （x）=

x

x-1

•

1

x

=

1

x-1

，由圖象可知，
函數(shù)h （x）在（1，5]上是減函數(shù)，
∴h （x）的最小值是h （5）=

1

4

．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的變換法則，函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的最值，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造關(guān)于a的方程，（2）的關(guān)鍵是利用分離常數(shù)法，化簡函數(shù)f（x）的解析式，（3）的關(guān)鍵是分析函數(shù)在區(qū)間（1，5]上的單調(diào)性．