Question

12．已知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+aln（x+1）（其中a為常數(shù)）$有兩個極值點x₁，x₂且x₁＜x₂．
（1）求a取值范圍并討論函數(shù)f（x）的單調性；
（2）求f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)f′（x），令g（x）=2x²+2x+a，由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，建立不等關系解之即可，在函數(shù)的定義域內解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出單調區(qū)間；
（2）x₂是方程g（x）=0的根，將a用x₂表示，消去a得到關于x₂的函數(shù)，研究函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最大值，即可求f（x₂）的取值范圍．

解答 解：（1）求導函數(shù)可得f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x+a}{x+1}$（x＞-1）
令g（x）=x²+x+a，其對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
由題意知x₁、x₂是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，
其充要條件為△=4-4a＞0且g（-1）=a＞0，得0＜a＜$\frac{1}{4}$…（2分）
①當x∈（-1，x₁）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x₁）內為增函數(shù)；
②當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（x₁，x₂）內為減函數(shù)；
③當x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（x₂，+∞）內為增函數(shù)；
（2）由（1）g（0）=a＞0，∴-$\frac{1}{2}$＜x₂＜0，a=-（x²₂+x₂）
∴f（x₂）=$\frac{1}{2}$x²₂+aln（1+x₂）=$\frac{1}{2}$x²₂-（x²₂+x₂）ln（1+x₂）
設h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）（x＞-$\frac{1}{2}$），…（8分）
則h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）…（10分）
①當x∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，h'（x）＞0，∴h（x）在（-$\frac{1}{2}$，0）單調遞增；
②當x∈（0，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調遞減 …（12分）
∴當x∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，h（x）＞h（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1-2ln2}{4}$，
故f（x₂）=$\frac{1}{2}$h（x₂）＞$\frac{1-2ln2}{8}$．    …（14分）

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值等有關知識，屬于中檔題．