Question

已知函數(shù)f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．
（Ⅱ）令g(x)=

19

6

x-

1

3

，是否存在實(shí)數(shù)a，對任意x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)f′（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)，但無重根；
（Ⅱ）由題意，函數(shù)f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分別求出值域，再建立不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）不單調(diào)，等價于導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（-1，1）既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)f′（x）在（-1，1）上存在零點(diǎn)，但無重根．
令f'（x）=0得x=a與x=-

a+2

3

，則-1＜a＜1或-1＜-

a+2

3

＜1，且a≠-

a+2

3

，∴-5＜a＜1且a≠-

1

2

綜上-5＜a＜-

1

2

或-

1

2

＜a＜1；
（Ⅱ）由題意，函數(shù)f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集
∵x∈[0，2]，g(x)=

19

6

x-

1

3

，∴g（x）∈[-

1

3

，6]；
令F（x）=f′（x）+2ax=3x²+2（1-a）x-a（a+2）+2ax=3x²+2x-a²-2a
∵x∈[-1，1]，∴F（x）∈[-

1

3

-a²-2a，5-a²-2a]
∴-

1

3

-a²-2a≥-

1

3

且5-a²-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2，0]

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，將問題等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．