【題目】如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,,,.
(Ⅰ)求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值;
(Ⅱ)點是線段上的動點,當直線與所成角最小時,求線段的長度.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標系.利用平面和平面的法向量,計算出平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.
(Ⅱ)利用向量共線得到的坐標.利用向量法求得直線與所成角為的余弦值的平方的表達式,還原后利用配方法求得的最大值,即求得的最大值,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,此時直線與所成角最小.根據(jù)最值成立的條件,求得線段的長度.
(Ⅰ)分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標系.
,,,,,
則,,
取平面的法向量,設(shè)平面的法向量為,
則,,即,解得,取,則.
設(shè)平面與平面所成二面角(銳角)為,
則.
(Ⅱ)設(shè)(其中),
,設(shè)當直線與所成角為,則,
,
令,,則,
則,
當,即,時,取得最大值,最大值為,此時取得最大值.
由余弦函數(shù)單調(diào)性可知,此時銳角取得最小值,且.
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【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是,點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓另一個焦點是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求的內(nèi)切圓面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)僅一個零點,求a的取值范圍.
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【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由;
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù),并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過 | 不超過 | |
第一種生產(chǎn)方式 | ||
第二種生產(chǎn)方式 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:,
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【題目】若函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍為________.
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【題目】某公司新上一條生產(chǎn)線,為保證新的生產(chǎn)線正常工作,需對該生產(chǎn)線進行檢測,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取100件產(chǎn)品,測量產(chǎn)品數(shù)據(jù),用統(tǒng)計方法得到樣本的平均數(shù),標準差,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,以頻率值作為概率估值。
(1)從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取一件,記其數(shù)據(jù)為,依據(jù)以下不等式評判(表示對應(yīng)事件的概率)
①
②
③
評判規(guī)則為:若至少滿足以上兩個不等式,則生產(chǎn)狀況為優(yōu),無需檢修;否則需檢修生產(chǎn)線,試判斷該生產(chǎn)線是否需要檢修;
(2)將數(shù)據(jù)不在內(nèi)的產(chǎn)品視為次品,從該生產(chǎn)線加工的產(chǎn)品中任意抽取2件,次品數(shù)記為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望。
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【題目】已知某產(chǎn)品的銷售額與廣告費用之間的關(guān)系如下表:
(單位:萬元) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
(單位:萬元) | 10 | 15 | 30 | 35 |
若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得對的回歸直線方程為,則下列說法中錯誤的是( )
A.產(chǎn)品的銷售額與廣告費用成正相關(guān)
B.該回歸直線過點
C.當廣告費用為10萬元時,銷售額一定為74萬元
D.的值是20
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【題目】將6名黨員干部分配到4個貧困村駐村扶貧,每個貧困村至少分配1名黨員干部,則不同的分配方案共有( )
A.2640種B.4800種C.1560種D.7200種
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【題目】巳知函數(shù),,其中.
(1)若是函數(shù)的極值點,求的值;
(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(3)記,求證:.
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