Question

一塊邊長(zhǎng)為10的正方形紙片，按如圖所示將陰影部分裁下，然后將余下的四個(gè)全等的等腰三角形作為側(cè)面制作一個(gè)正四棱錐S-ABCD（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的四棱錐）．
（1）過(guò)此棱錐的高以及一底邊中點(diǎn)F作棱錐的截面（如圖），設(shè)截面三角形面積為y，將y表為x的函數(shù)；
（2）求y的最大值及此時(shí)x的值；
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的動(dòng)點(diǎn)P，它在此棱錐的表面（包含底面ABCD）運(yùn)動(dòng)，且FP⊥AC．如果存在，在圖中畫(huà)出其軌跡并計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度，如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形中根據(jù)兩條邊長(zhǎng)利用勾股定理做出四棱錐的高，即可求得截面三角形面積的函數(shù)表達(dá)式；
（2）利用基本不等式，可求最值；
（3）取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，證明AC⊥平面GFT即可得到結(jié)論，從而可求軌跡的長(zhǎng)度．
解答：解：（1）由題意，y====（0＜x＜10）（4分）
（2）y==≤=．
當(dāng)且僅當(dāng)x²=100-x²（0＜x＜10），即x=5時(shí)取得最大值．…..（9分）
（3）存在這樣的點(diǎn)的軌跡，下面說(shuō)明：
取BC的中點(diǎn)G，SC中點(diǎn)T，連接FG，GT，TF，F(xiàn)G∩AC=H，則GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要P在平面GFT與棱錐的表面的交線上運(yùn)動(dòng)，均有FP⊥AC．

此時(shí)，由中位線性質(zhì)可知，△GFT的周長(zhǎng)l==（++）=
在（1）的條件下，l=…．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．