Question

【題目】已知 的三個(gè)內(nèi)角 A,B,C 成等差數(shù)列，且 a,b,c 分別為角 A,B,C 的對(duì)邊，求證：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1

Answer 1

【答案】【解答】解：方法一(分析法)：
要證 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 ，
即證 ，
只需證 ，
化簡(jiǎn)，得 ，
即 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c) ，
所以只需證c2+a2=b2+ac .
因?yàn)? 的三個(gè)內(nèi)角A ， B ， C成等差數(shù)列，
所以 .
所以 .
所以a2+c2-b2=ac .所以原式成立.
方法二(綜合法)：
因?yàn)? 的三個(gè)內(nèi)角A ， B ， C成等差數(shù)列，
所以 .
由余弦定理，有 b2=c2+a2-2accos600 ，
所以 c2+a2=b2+ac . .
兩邊加 ab+bc ，得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c) ，
兩邊同時(shí)除以(a+b)(b+c) ，得 ，
所以 ，
即 ，
所以 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 .
【解析】本題主要考查了分析法與綜合法，解決問題的關(guān)鍵是綜合法和分析法各有優(yōu)缺點(diǎn)，從尋求解題思路來看，綜合法由因?qū)Ч�，分析法�?zhí)果索因.就表達(dá)證明過程而論，綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰；分析法敘述繁瑣，文辭冗長(zhǎng).也就是說分析法宜于思考，綜合法宜于表述.因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運(yùn)用，先利用分析法尋求解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.