【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為2：1，左焦點F（﹣2，0），一定點為P（﹣8，0）．

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點，設(shè)直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

（3）求△P1P2F面積的最大值．

【答案】（1）+=1；（2）見解析;（3）3．

【解析】

（1）設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0），

由題意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，

解得c=2，a=4，b=2，

即橢圓方程為+=1；

（2）證明：設(shè)直線P1P2：y=k（x+8），

代入橢圓方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，

由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有

設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），

x1+x2=﹣，x1x2=，

即有k1+k2=+=+=k，

將韋達定理代入上式，可得

2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，

則k1+k2=0；

（2）△P1P2F面積S=|PF||y1﹣y2|

=3|k||x1﹣x2|=3|k|=3|k|

=72，

設(shè)t=3+4k2（3＜t＜4），

則S=72=36=36，

當=即t=即k=±時，取得最大值，且為3．

則△P1P2F面積的最大值為3．

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【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是橢圓的左右焦點，過點的直線交橢圓于，兩點，且的周長為12．

（Ⅰ）求橢圓的方程

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【題目】如果實系數(shù)、、和、、都是非零常數(shù)．

（1）設(shè)不等式和的解集分別是、，試問是的什么條件？并說明理由．

（2）在實數(shù)集中，方程和的解集分別為和，試問是的什么條件？并說明理由．

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【題目】已知二次函數(shù)和.

（1）為偶函數(shù)，試判斷的奇偶性；

（2）若方程有兩個不相等的實根，當時判斷在上的單調(diào)性；

（3）當時，問是否存在x的值，使?jié)M足且的任意實數(shù)a，不等式恒成立？并說明理由.

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【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為,且過坐標原點O,數(shù)列的前n項和為,點()在二次函數(shù)的圖象上.

(1)求數(shù)列的表達式;

(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項和為,若對恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項,,,,…,…(),這些項能夠依次構(gòu)成以為首項,q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達式;若不存在,說明理由.

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【題目】已知函數(shù)f（x）.

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（2）若曲線y=f（x）與直線y＝b（b∈R）有3個交點，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）過點P（﹣1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請說明理由.

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