Question

【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．

（1）求實數(shù)的所有取值組成的集合；

（2）試寫出在區(qū)間上的最大值；

（3）設(shè)，令，若對任意，總有，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）因為為開口向上的二次函數(shù)，故其在對稱軸左邊單調(diào)遞減，對稱軸右邊單調(diào)遞增. 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，等價于區(qū)間在對稱軸的左邊或者右邊.列出不等式解出即可.

（2）討論在上的單調(diào)性，分別求出其最大值,再寫成分段函數(shù)的形式即可.

（3）根據(jù)題意寫出,對任意，總有等價于且，則分別討論與 的大小關(guān)系，找到其對應(yīng)的與，代入即可解出答案.

解：（1）對稱軸.

所以或.

（2）①當(dāng) ，即時.

函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

②當(dāng)，即時.

函數(shù)在上單調(diào)遞減.

所以.

綜上所述：.
（3）.

由題意得，，

畫出函數(shù)的圖像：

①當(dāng)時，在單調(diào)遞減.

所以，.

代入，解得，舍.

②當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ，.

代入，解得，所以，

③當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ， .

代入，化簡得,解得或，

所以.

④當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，.

代入，解得，所以，

⑤當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，.

代入，解得，

綜上所述：.即 .