Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ .

(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域；

(2)設(shè)F(x)＝m＋f(x)，求函數(shù)F(x)的最大值的表達式g(m)．

Answer 1

【答案】（1）[，2]；（2）g(m)＝ .

【解析】

(1)由 解不等式可得函數(shù)的定義域，先求得，結(jié)合，可得，結(jié)合即可得到函數(shù)的值域； (2) 令， 可得，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想即可得到結(jié)論.

(1)要使函數(shù)f(x)有意義，需滿足 得－1≤x≤1.

故函數(shù)f(x)的定義域是{x|－1≤x≤1}．

∵[f(x)]2＝2＋2 ，且0≤≤1，

∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，

∴≤f(x)≤2，

即函數(shù)f(x)的值域為[，2]．

(2)令f(x)＝t，則t2＝2＋2，

則＝t2－1，

故F(x)＝m(t2－1)＋t

＝mt2＋t－m，t∈[，2]，

令h(t)＝mt2＋t－m，

則函數(shù)h(t)的圖像的對稱軸方程為t＝－.

①當m>0時，－ <0，函數(shù)y＝h(t)在區(qū)間[，2]上遞增，

∴g(m)＝h(2)＝m＋2.

②當m＝0時，h(t)＝t，g(m)＝2；

③當m<0時，－ >0，若0<－≤，

即m≤－時，函數(shù)y＝h(t)在區(qū)間[，2]上遞減，

∴g(m)＝h()＝，

若<－≤2，即－<m≤－時，

g(m)＝h(－)＝－m－；

若－>2，即－<m<0時，

函數(shù)y＝h(t)在區(qū)間[，2]上遞增，

∴g(m)＝h(2)＝m＋2.

綜上，g(m)＝