已知函數(shù)f(x)=kx+m,當(dāng)x∈[a1,b1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a2,b2],當(dāng)x∈[a2,b2]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a3,b3],…,依此類推,一般地,當(dāng)x∈[an-1,bn-1]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇an,bn],其中k、m為常數(shù),且a1=0,b1=1.
(1)若k=1,求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若m=2,問是否存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
lim
n→∞
bn=4
.若存在,求k的值;若不存在,請說明理由;
(3)若k<0,設(shè)數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,求(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010).
(1)因?yàn)閒(x)=x+m,當(dāng)x∈[an-1,bn-1]時(shí),f(x)為單調(diào)增函數(shù),
所以其值域?yàn)閇an-1+m,bn-1+m]
于是an=an-1+m,bn=bn-1+m(n∈N*,n≥2)
又a1=0,b1=1,所以an=(n-1)m,bn=1+(n-1)m.
(2)因?yàn)閒(x)=kx+m(k>0),當(dāng)x∈[an-1,bn-1]時(shí),f(x)為單調(diào)增函數(shù)
所以f(x)的值域?yàn)閇kan-1+m,kbn-1+m],因m=2,則bn=kbn-1+2(n≥2)
假設(shè)存在常數(shù)k>0,使得數(shù)列{bn}滿足
lim
n→∞
bn=4,則
lim
n→∞
bn=k
lim
n→∞
bn-1+2
,
4=4k+2,則k=
1
2
符合.
故存在k=
1
2
,使
lim
n→∞
bn=4

(3)因?yàn)閗<0,當(dāng)x∈[an-1,bn-1]時(shí),f(x)為單調(diào)減函數(shù),
所以f(x)的值域?yàn)閇kbn-1+m,kan-1+m]
于是an=kbn-1+m,bn=kan-1+m(n∈N*,n≥2)
則bn-an=-k(bn-1-an-1
又b1-a1=1,∴bn-an=(-k)n-1
∴Tn-Sn=
n                (k=-1)
 
1-(-k)n
1+k
  (k<0,k≠-1)


進(jìn)而有(T1+T2+…+T2010)-(S1+S2+…+S2010)=
2021055,(k=-1)
2010+2011k-k2011
(1+k)2
,(k<0,k≠-1)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時(shí),將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)k=4時(shí),若對?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實(shí)數(shù)b的取值范圍..

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
k+1x
(k<0),求使得f(x+k)>1成立的x的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k•a-x(k,a為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象過點(diǎn)A(0,1),B(3,8).
(1)求實(shí)數(shù)k,a的值;
(2)若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
,試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•蕪湖二模)給出以下五個命題:
①命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“?x∈R,x2+x+1<0”.
②已知函數(shù)f(x)=k•cosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(
π
3
,1),則函數(shù)圖象上過點(diǎn)P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=(a-2)x-1垂直的充要條件.
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間(0,1)上存在零點(diǎn).
⑤已知向量
a
=(1,-2)
與向量
b
=(1,m)
的夾角為銳角,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,
1
2

其中正確命題的序號是
②③④
②③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設(shè)t=logax+logxa.
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,a)∪(a,+∞)時(shí),試將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當(dāng)k=4時(shí),若對任意的x1∈(1,+∞),存在x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實(shí)數(shù)b的取值范圍..

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