【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當時，不等式成立.

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）當時，，，故切線為

（2）由題意得：在上恒成立，即恒成立，求的最小值，即可得出答案.

（3）當時，可證明恒成立，變形得：，

又因為，即，故，將替換成，即可得出答案.

解：（1）時，，∴，

∴，，

∴切線方程為.

（2）由題可知在上恒成立，

∴恒成立，

設(shè)函數(shù)，則，

令得，

當時，當時，

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

∴.

∴，∴的取值范圍是.

（3）首先證明：當時，.

設(shè)，則，.

易得：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

又，，，∴.

所以存在使得.

∴當時，當時，

當時.

∴在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∵，∴在都成立，

即時恒成立.

即：，變形得：，

設(shè)，，，

∵當時，，

當時，，

∴，

∴，即，

∴，

將替換成得：.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（ ）

A.56383B.57171C.59189D.61242

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【題目】已知是一個單調(diào)遞增的等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列，是的前項和，其中，，成等差數(shù)列，.

（1）求的通項公式；

（2）若，，既成等比數(shù)列，又成等差數(shù)列.

（i）求的通項公式；

（ii）對于數(shù)列，若且，或且，則為數(shù)列的轉(zhuǎn)折點，求的轉(zhuǎn)折點個數(shù).

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【題目】某校高三（1）班在一次語文測試結(jié)束后，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在背誦內(nèi)容方面失分較為嚴重.為了提升背誦效果，班主任倡議大家在早晩讀時間站起來大聲誦讀，為了解同學(xué)們對站起來大聲誦讀的態(tài)度，對全班50名同學(xué)進行調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果進行整理后制成如表：

考試分數(shù)

，

，

，

，

，

，

頻數(shù)

5

10

15

5

10

5

贊成人數(shù)

4

6

9

3

6

4

（1）欲使測試優(yōu)秀率為，則優(yōu)秀分數(shù)線應(yīng)定為多少分？

（2）依據(jù)第1問的結(jié)果及樣本數(shù)據(jù)研究是否贊成站起來大聲誦讀的態(tài)度與考試成績是否優(yōu)秀的關(guān)系，列出2×2列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為贊成與否的態(tài)度與成績是否優(yōu)秀有關(guān)系.

參考公式及數(shù)據(jù)：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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【題目】已知過點，且與內(nèi)切，設(shè)的圓心的軌跡為，

（1）求軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與曲線交于點兩點，若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點，若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，請說明理由．

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【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為，寬為內(nèi)接正方形的邊長．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)為斜邊的中點，作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線，過點作于點，則下列推理正確的是（ ）

①由圖1和圖2面積相等得；

②由可得；

③由可得；

④由可得．

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③

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（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）證明：對于任意正整數(shù)n，不等式成立．

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A.①③B.②④C.①③④D.①④

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