【題目】如圖所示的幾何體中,是菱形,,平面,.

1)求證:平面平面;

2)求平面與平面構(gòu)成的二面角的正弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2.

【解析】

1)取中點(diǎn),連結(jié),設(shè),連結(jié),,先證明

,可證得平面,又,故平面,即得證.

2)如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求解平面與平面的法向量,利用二面角的向量公式即得解.

1)證明:取中點(diǎn),連結(jié),設(shè),連結(jié),

在菱形中,,

平面,平面,

,,平面,平面,

,分別是的中點(diǎn),,,

,,,且,

四邊形是平行四邊形,則,平面,

平面,平面平面.

2)由(1)中證明知,平面,則,兩兩垂直,以,

所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

是菱形,

得,,,則,

,,

,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,即,

,求得,所以

同理,可求得平面的一個(gè)法向量為,

設(shè)平面與平面構(gòu)成的二面角的平面角為,則

,又,

,

平面與平面構(gòu)成的二面角的正弦值為.

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