Question

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域與值域均為R，f(x)的反函數(shù)為f^－1(x)，定義數(shù)列{a_n}中，a₀＝8，a₁＝10，a_n＝f(a_n－1)，n＝1，2……．

(1)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有f(x)＋f^－1(x)＝2.5x，求證：①a_n+1＋a_n－1＝2.5a_n，n＝1，2，……．②設(shè)b_n＝a_n+1－2a_n，n＝0，1，2，……，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有f(x)＋f^－1(x)＜2.5x，是否存在常數(shù)A、B同時(shí)滿足：

①當(dāng)n＝0.or.n＝1時(shí)，有成立；②當(dāng)n＝2、3、4、……，時(shí)，成立．如果存在，求出A、B的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由，又在等式＋=2.5x中令， 　　從而有　　　　　　　(1)成立． 　　又及(1)式有：，所以{，; 　　(2)由n=0.or.n=1時(shí)，有成立，可求得A=B=4， 　　由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，均有＋＜2.5x，可得　　　　　　(2) 　　下面利用(2)和A=B=4，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　當(dāng)n=2、3、4、……，時(shí)，成立即可，證明過程容易，略去． 　　所以存在實(shí)數(shù)A=B=4，使結(jié)論成立．