Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=
（1）求證f（x）在（0，+∞）上遞增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）當(dāng)f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）= ﹣ ，x∈（0，+∞），

∴f'（x）= ＞0，

故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，

則 ，即 ，

故函數(shù)y= 與y=x+ （x＞0）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，

∵當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+ ≥2（當(dāng)且僅當(dāng)x= ，即x=1時(shí)取“=”），

∴ ≥2，解得0＜a≤

（3）∵f（x）= ﹣ ，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立上，

∴a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）= ，

則g（x）≤ = （當(dāng)且僅當(dāng)2x= ，即x= 時(shí)取等號(hào)），

要使（0，+∞）上恒成立，

故a的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（1）利用f'（x）= ＞0即可證明f（x）在（0，+∞）上遞增；（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，則則 ，構(gòu)造函數(shù)y= 與y=x+ （x＞0），利用兩函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，即求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立a≥ = 在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）= ，利用基本不等式可求得g（x）max ， 從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的值域?qū)︻}目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．