對(duì)于定義在集合D上的函數(shù)y=f(x),若f(x)在D上具有單調(diào)性且存在區(qū)間[a,b]⊆D(其中a<b)使當(dāng)x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)是D上的“正函數(shù)”,區(qū)間[a,b]稱為f(x)的“等域區(qū)間”.
(1)已知函數(shù)f(x)=x3是正函數(shù),試求f(x)的所有等域區(qū)間;
(2)若g(x)=
x+2
+k
是正函數(shù),試求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b<1)使得函數(shù)f(x)=|1-
1
x
|
是[a,b]上的“正函數(shù)”?若存在,求出區(qū)間[a,b],若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可知f(x)=x3在R上是增函數(shù),則x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a3,b3],最后根據(jù)f(x)=x3是正函數(shù)建立等式關(guān)系,解之即可求出所求;
(2)g(x)=
x+2
+k
在[-2,+∞)上是增函數(shù),則x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇g(a),g(b)],根據(jù)g(x)=
x+2
+k
是正函數(shù),建立等式關(guān)系,即k=(
x+2
)2-
x+2
-2
有兩個(gè)不等的實(shí)根,數(shù)形結(jié)合即可求出k的范圍;
(3)假設(shè)存在區(qū)間[a,b],使得x∈[a,b]時(shí),H(x)=|1-
1
x
|
的值域?yàn)閇a,b],討論當(dāng)a<b<0時(shí)與當(dāng)0<a<b<1時(shí)是否存在實(shí)數(shù)a、b即可.
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2≥0
∴f(x)=x3在R上是增函數(shù)
則x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇a3,b3]
又f(x)=x3是正函數(shù)
a=a3
b=b3
b>a
解得
a=0
b=1
a=-1
b=0
a=-1
b=1

故f(x)的等域區(qū)間有三個(gè):[0,1],[-1,0],[-1,1]…(5分)
(2)∵g(x)=
x+2
+k
在[-2,+∞)上是增函數(shù)
∴x∈[a,b]時(shí),f(x)的值域?yàn)閇g(a),g(b)]
g(x)=
x+2
+k
是正函數(shù),則有
g(a)=b
g(b)=b
a=
a+2
+k
b=
b+2
+k

故方程x=
x+2
+k
有兩個(gè)不等的實(shí)根.…(7分)
k=(
x+2
)2-
x+2
-2
有兩個(gè)不等的實(shí)根
x+2
=t≥0,h(t)=t2-t-2=(t-
1
2
)2-
9
4
(t≥0)

數(shù)形結(jié)合知:k∈(-
9
4
,-2]
…(9分)
(3)假設(shè)存在區(qū)間[a,b],使得x∈[a,b]時(shí),H(x)=|1-
1
x
|
的值域?yàn)閇a,b],又0∉[a,b]故ab>0
當(dāng)a<b<0時(shí),H(x)=1-
1
x
在[a,b]上單增.
a=1-
1
a
b=1-
1
b
⇒a,b
是方程x=1-
1
x
的兩負(fù)根
又方程x2-x+1=0無(wú)解
故此時(shí)不存在…(11分)
當(dāng)0<a<b<1時(shí),H(x)=
1
x
-1
在[a,b]上單減
a=
1
b
-1
b=
1
a
-1
ab=1-b
ab=1-a
⇒a=b,又a<b

故此時(shí)不存在…(13分)
綜上可知:不存在實(shí)數(shù)a<b<1使得f(x)的定義域和值域均為[a,b]…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)值域的求解,以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域,同時(shí)考查了分類討論的思想,屬于中檔題.
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x
是[0,+∞)上的正函數(shù),則f(x)的等域區(qū)間為
[0,1]
[0,1]

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f(x)的值域是[a,b],則稱函數(shù)f(x)是D上的正函數(shù),區(qū)間[a,b]稱為f(x)的“等域區(qū)間”.
(1)已知函數(shù)f(x)=
x
是[0,+∞)上的正函數(shù),試求f(x)的等域區(qū)間.
(2)試探究是否存在實(shí)數(shù)k,使函數(shù)g(x)=x2+k是(-∞,0)上的正函數(shù)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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