Question

已知某二次函數(shù)f（x）圖象過原點，且經(jīng)過（-1，-5）和（2，4）兩點，
（Ⅰ）試求f（x）函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間[3，7]上的單調(diào)性，并用單調(diào)函數(shù)的定義進行證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）函數(shù)的解析式，由于函數(shù)性質(zhì)已知故可用待定系數(shù)法設出其解析式，再代入（-1，-5）和（2，4）兩點，求參數(shù)．
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間[3，7]上的單調(diào)性，并用單調(diào)函數(shù)的定義進行證明，故此題解題過程是先判斷再證明，由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出結(jié)果再利用定義法證明即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）過原點，設f（x）=ax²+bx，
由題意，圖象經(jīng)過（-1，-5）和（2，4）兩點∴

a-b=-5 4a+2b=4

解得：

a=-1 b=4

f（x）=-x²+4x
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在[3，7]上為單調(diào)遞減函數(shù)
證明：任取x₁＜x₂∈[3，7]f（x₁）-f（x₂）=（-x₁²+4x₁）-（-x₂²+4x₂）=（x₂²-x₁²）+（4x₁-4x₂）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+4（x₁-x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）x₁＜x₂∈[3，7]，x₂+x₁＞6，x₂-x₁＞0∴（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-4）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），而x₁＜x₂∈[3，7]∴函數(shù)f（x）在[3，7]上為單調(diào)遞減函數(shù)

點評：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式及利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)中對性質(zhì)考查的基本題型，尤其是第二問要注意解題的格式，先判斷，再證明．