Question

如圖所示，為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖．冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出．

（1）輸入帶鋼的厚度為α，輸出帶鋼的厚度為β，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過r₀．問冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋錕？
一對(duì)軋錕的減薄率=

輸入該對(duì)的帶鋼厚度-從該對(duì)輸出的帶鋼厚度

輸入該對(duì)的帶鋼厚度

（2）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋錕，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm．若第k對(duì)軋錕有缺陷，每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，庇點(diǎn)的間距為L(zhǎng)_k．為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L₁、L₂、L₃并填入下表（軋鋼過程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.兩端取對(duì)數(shù)，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.由于lg（1-r₀）＜0，進(jìn)而求得n的范圍．
（2）根據(jù)題意可知1600=L₃•（1-0.2），進(jìn)而求得L₃，同理可求得L₂和L₁

解答：（1）解：厚度為α的帶鋼經(jīng)過減薄率均為r₀的n對(duì)軋緄后厚度為a（1-r₀）ⁿ．為使輸出帶鋼的厚度不超過β，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足a（1-r₀）ⁿ≤β即(1-r0)n≤

β

a

.
由于(1-r0)n＞0，

β

a

＞0，對(duì)比上式兩端取對(duì)數(shù)，得nlg(1-r0)≤lg

β

a

.
由于lg（1-r₀）＜0，所以n≥

lgβ-lga

lg(1-r0)

.
因此，至少需要安裝不小于

lgβ-lga

lg(1-r0)

的整數(shù)對(duì)軋輥．
（2）第3對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，�?600=L₃•（1-0.2），
所以L3=

1600

0.8

=2000(mm).
同理L2=

L3

0.8

=2500(mm)，L1=

L2

0.8

=3125(mm).
填表如下：

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)計(jì)算等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問題的能力．