【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,E為CD上任意一點.
(I)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)若CD= a,是否存在這樣的E點,使得AD1與平面B1AE成45°的角?說明理由.

【答案】證明:(I)連接A1D,B1C,
∵AA1=AD,AA1∥AD,AA1⊥AD,
∴四邊形AA1D1D是正方形,
∴AD1⊥A1D,
∵A1B1⊥平面AA1D1D,AD1平面AA1D1D,
∴A1B1⊥AD1
又A1D平面A1B1CD,A1B1平面A1B1CD,A1B1∩A1D=A1 ,
∴AD1⊥平面A1B1CD,又B1E平面A1B1CD,
∴B1E⊥AD1
(II)以A為原點,以AB,AD,AA1為坐標軸建立空間坐標系,
則A(0,0,0),D1(0,a,a),B1 a,0,a),設E(m,a,0),(0 ).
=(0,a,a), =( a,0,a), =(m,a,0).
設平面B1AE的法向量為 =(x,y,z),則 ,
,令x=1得 =(1,﹣ ,﹣ ).
∴cos< >= =﹣ =﹣
假設存在這樣的E點,使得AD1與平面B1AE成45°的角,
= ,解得m= a.
∴CD上存在點E使得AD1與平面B1AE成45°的角.

【解析】(I)連接A1D,B1C,則可通過證明AD1⊥平面A1B11E⊥AD1 . (II)以A為原點建立坐標系,設DE=m,求出 及平面B1AE的法向量 ,令|cos< >|= 解出m,根據(jù)m的值得出結論.
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PAAC,AB=BC=CA=AP=2,G是△ABC重心,E是線段PC上一點,且CE=λCP.

(1)當EG∥平面PAB時,求λ的值;

(2)當直線CP與平面ABE所成角的正弦值為時,求λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC與BD的交點M恰好是AC中點,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,點N在線段PB上,且PN=2.

(1)求證:BD⊥PC;
(2)求證:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】去年“十一”期間,昆曲高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在曲靖收費站從7座以下小型汽車中按進收費站的先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛汽車進行抽樣調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段:,,,,后,得到如圖的頻率分布直方圖.

(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?

(II)求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;

(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準線與x軸交于點K,過點K作圓(x﹣5)2+y2=9的兩條切線,切點為M,N,|MN|=3
(1)求拋物線E的方程;
(2)設A,B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點,且 (其中O為坐標原點).
①求證:直線AB必過定點,并求出該定點Q的坐標;
②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G,D兩點,求四邊形AGBD面積的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))
(1)以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸(與直角坐標系xOy取相同的長度單位)建立極坐標系,若點P的極坐標為(4, ),判斷點P與直線l的位置關系;
(2)設點Q是曲線C上的一個動點,利用曲線C的參數(shù)方程求Q到直線l的距離的最大值與最小值的差.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA,sinA的值;
(2)若cosB+cosC= ,求cosC+ sinC的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)= 的定義域為(
A.(1,2)∪(2,3)
B.(﹣∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,3)
D.[1,3]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0; q:實數(shù)x滿足 <0.
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案