【題目】設(shè)正數(shù)x,y滿足log x+log3y=m(m∈[﹣1,1]),若不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
A.(1, ]
B.(1, ]
C.[ ,+∞)
D.[ ,+∞)

【答案】C
【解析】解:∵log x+log3y=m,即log3 +log3y=log3 =m, ∴ =3m , ∵m∈[﹣1,1],∴ ∈[ ,3].
∵3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2
∴3a﹣18 +(2a+3) ≥1﹣2 + ,
=t,則2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1≥0,
設(shè)f(t)=2(a+1)t2﹣16t+3a﹣1,
∵不等式3ax2﹣18xy+(2a+3)y2≥(x﹣y)2有解,
∴f(t)在[ ,3]上的最大值fmax(x)≥0,
(i)當(dāng)a=﹣1時,f(t)=﹣16t﹣4,
∴fmax(t)=f( )=﹣ ﹣4<0,不符合題意;
(ii)若a<﹣1,則f(t)開口向下,對稱軸為t= <0,
∴f(t)在[ ,3]上單調(diào)遞減,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6<0,不符合題意;
(iii)若a>﹣1,則f(t)開口向上,對稱軸為t= >0,
①若0< ,即a≥11時,f(t)在[ ,3]上單調(diào)遞增,
∴fmax(t)=f(3)=21a﹣31>0,符合題意;
②若 ,即﹣1<a 時,f(t)在[ ,3]上單調(diào)遞減,
∴fmax(t)=f( )= ﹣6≤ ﹣6<0,不符合題意;
③若 <3,即 <a<11時,f(t)在[ ,3]上先減后增,
∴fmax(t)=f( )或fmax(t)=f(3),
∴f( )= ﹣6≥0或f(3)=21a﹣31>0,
解得a≥ 或a≥ ,又 <a<11,
≤a<11,
綜上,a的取值范圍是[ ,+∞).
故選C.

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微信群數(shù)量(個)

頻數(shù)

頻率

0~4

0.15

5~8

40

0.4

9~12

25

13~16

a

c

16以上

5

b

合計

100

1

(Ⅰ)求a,b,c的值及樣本中微信群個數(shù)超過12的概率;
(Ⅱ)若從這100位同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過12的概率;
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