【題目】大氣污染是我國目前最突出的環(huán)境問題之一,其中工廠廢氣是大氣污染的重大污染源之一。工廠廢氣未經(jīng)凈化處理排放至空氣中,除了對空氣質(zhì)量造成嚴(yán)重破壞,還會對人體的健康造成重大威脅。長期生活在污染的空氣中,生活質(zhì)量及身體健康將急劇下降。某工廠因?yàn)槲廴締栴}需改進(jìn)技術(shù),2019年初購進(jìn)一臺環(huán)保新機(jī)器投入生產(chǎn),機(jī)器的成本價(jià)為36萬元,第年該機(jī)器包括維修費(fèi)和機(jī)器護(hù)理費(fèi)用在內(nèi),每年另需投人費(fèi)用萬元,購進(jìn)該機(jī)器后每年盈利20萬元.
(1)問該機(jī)器投入生產(chǎn)第幾年,工廠開始盈利(即總收入大于所有投人的費(fèi)用)?
(2)由于機(jī)器使用年限越大維修等費(fèi)用越高,所以工廠決定當(dāng)年平均利潤最大時(shí)將該機(jī)器以5萬元低價(jià)處理,問使用該機(jī)器幾年后工廠年平均利潤最大?此時(shí)工廠獲得的總利潤為多少?
【答案】(1)3
(2)經(jīng)過6年后年平均利潤最大,工廠獲得的總利潤為萬元
【解析】
(1)根據(jù)題意求得總收入減去機(jī)器成本和每年的額外投入費(fèi)用之和,即為盈利的表達(dá)式,解不等式即可確定開始盈利的時(shí)間.
(2)根據(jù)(1)中盈利表達(dá)式,即可求得年平均利潤的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可確定年平均利潤最大及總利潤.
(1)設(shè)引進(jìn)該機(jī)器第年開始盈利,盈利為y元,
則
由,得.
解得,
即引進(jìn)該機(jī)器第3年,工廠開始盈利.
(2)①平均盈利為,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),年平均利潤最大,
所以引進(jìn)該機(jī)器經(jīng)過6年后年平均利潤最大,
工廠獲得的總利潤為萬元.
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【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為2的正方形.
(1)證明:A1C1平面ACD1;
(2)求異面直線CD與AD1所成角的大;
(3)已知三棱錐D1﹣ACD的體積為,求AA1的長.
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【題目】九章算術(shù)中有一題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬,”馬主曰:“我馬食半!保裼斨,問各出幾何?其意:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,苗主人要求賠償五斗粟,羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例償還,問羊的主人應(yīng)賠償______斗粟,在這個(gè)問題中牛主人比羊主人多賠償______斗粟.
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【題目】已知函數(shù),且數(shù)列滿足.
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若對任意的,都有成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,側(cè)棱底面, 垂直于和,為棱上的點(diǎn),,.
(1)若為棱的中點(diǎn),求證://平面;
(2)當(dāng)時(shí),求平面與平面所成的銳二面角的余弦值;
(3)在第(2)問條件下,設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn),與平面所成的角為,求當(dāng)取最大值時(shí)點(diǎn)的位置.
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【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比,某市文明辦對市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機(jī)會,通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示:
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表),請利用正態(tài)分布的知識求;
(2)在(1)的條件下,文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵(lì)方案:
(i)得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);
(ii)每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:
獲贈的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元) | 20 | 40 |
概率 |
現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:①;
②若,則,,.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),其中.
(1)在區(qū)間上,是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,證明:.
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【題目】為了研究廣大市民對共享單車的使用情況,某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):
每周使用次數(shù) | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 4 | 3 | 3 | 7 | 8 | 30 |
女 | 6 | 5 | 4 | 4 | 6 | 20 |
合計(jì) | 10 | 8 | 7 | 11 | 14 | 50 |
認(rèn)為每周使用超過3次的用戶為“喜歡騎共享單車”.
(1)分別估算男、女“喜歡騎共享單車”的概率;
(2)請完成下面的2×2列聯(lián)表,并判斷能否有95%把握,認(rèn)為是否“喜歡騎共享單車”與性別有關(guān).
不喜歡騎共享單車 | 喜歡騎共享單車 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
附表及公式:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“”的否定是“”
B.命題“已知,若則或”是真命題
C.命題“若則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題
D.“在上恒成立”在上恒成立
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