Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=CP=1，且AC⊥BC，PC⊥面ABC，過P作截面分別交AC，BC于E、F，且二面角P-EF-C為60°，則三棱錐P-EFC體積的最小值為

1

9

．

Answer 1

分析：先根據(jù)二面角求出在三角形PEF斜邊EF邊上的高，設(shè)CE=a，CF=b，則EF=

a2+b2

，然后等面積建立等式，再利用基本不等式求出ab的最值，利用體積公式表示出三棱錐P-EFC體積，從而求出體積的最小值．

解答：解：過P做PG⊥EF，垂足為G，連接CG則由三垂線定理可得EF⊥CG
∴∠PGC即為二面角角P-EF-C的平面角
∴∠PGC=60°，PC=1
∴在三角形PEF斜邊EF邊上的高為PG=

3

3

設(shè)CE=a，CF=b，則EF=

a2+b2

在三角形CEF中ab=

a2+b2

•

3

3

≥

2ab 3

∴ab≥

2

3

三棱錐P-EFC體積V=

1

3

×

1

2

ab•PC=

1

6

ab≥

1

9

故答案為：

1

9

點評：本題主要考查了二面角的應(yīng)用，以及錐體的體積和基本不等式求最值，屬于中檔題．