Question

【題目】在四棱錐中，平面是正三角形，與的交點(diǎn)為，又，點(diǎn)是的中點(diǎn)。

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理先證明平面，即可證明平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用利用向量法即可求出二面角的余弦值。

試題解析：（1）證明：在正三角形中，，在中，∵，易證，∴為中點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵面，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴平面，∴平面，又，∴平面。

（2）分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，

∴。

由（1）可知，為平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，解得，則平面的一個(gè)法向量為，，由題知二面角為銳二面角，∴二面角余弦值為。