Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對定義域每的任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對于任意正整數(shù)，不等式恒成立。

Answer 1

【答案】. 。

（Ⅰ）當時，若，則，若，則，故此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

當時， 的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當時， ，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當時，同可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

（Ⅱ）由于，顯然當時， ，此時對定義域每的任意不是恒成立的，

當時，根據(jù)（1），函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，故得實數(shù)的取值范圍是。

（Ⅲ）當時， ，等號當且僅當成立，這個不等式即，當時，可以變換為，

在上面不等式中分別令，

所以

【解析】試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值和極值、恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，對求導， 的根為a和1，比較a和1的大小，分四種情況分別判斷的正負，得到函數(shù)的單調(diào)性；第二問，由，當時， ，此時對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的，當時，利用導數(shù)求得在區(qū)間上取得最小值為，由最小值大于等于0求得a的取值范圍；第三問，結(jié)合第二問的結(jié)論，知時， 恒成立，即，再利用不等式的累加得到結(jié)論．

試題解析：（1）

當時， 在上遞減，在上遞增

當時， 在， 上遞增，在上遞減

當時， 在上遞增

當時， 在， 上遞增， 上遞減

（2）由（1）知當時

當時， 不恒成立

綜上：

（3）由（2）知時， 恒成立

當且僅當時以“=”

時，

……