Question

某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽后，對考生成績進行統(tǒng)計（考生成績均不低于90分，滿分150分），將成績按如下方式分成六組，第一組[90，100），第二組[100，110），…，第六組[140，150]．如圖所示為其頻率分布直方圖的一部分，第四組，第五組，第六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有4人．
（Ⅰ）請補充完整頻率分布直方圖，并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M；（計算時可以用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）
（Ⅱ）現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人，記他們的成績分別為x，y，若|x-y|≥10，則稱此2人為“黃金幫扶組”，試求選出的2人為“黃金幫扶組”的概率．

Answer 1

分析：（I）設(shè)第四組，第五組的頻率分別為a、b，根據(jù)第四組，第五組，第六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列和所以小矩形的面積和為1，列出方程求a、b的值；
（II）先求出第四，第六組人數(shù)，根據(jù)滿足條件|x-y|≥10，說明選自不同的組，再求出分別從兩個小組中各選1人的選法種數(shù)，利用古典概型概率公式計算．

解答：解：（I）∵第六組的頻率為0.005×10=0.05，
∴樣本容量為

4

0.05

=80，
設(shè)第四組，第五組的頻率分別為a、b，
則第四組，第五組的人數(shù)分別為80a，80b，
則a+b=1-10×（0.005+0.015+0.020+0.035）=0.25
又第四組，第五組，第六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，
∴80×0.05+80a=2×80b⇒2b=a+0.05，
解得a=0.15，b=0.1．
∴第四組、第五組小矩形的高分別為0.015，0.010．

（II）依題意，知第四組人數(shù)為4×

0.015

0.005

=12，而第六組有4人，
所以第四組和第六組一共有16人，
從中任選2人，一共有C

2 16

=120（種）選法，
若滿足|x-y|≥10，則一定是分別從兩個小組中各選1人，
因此有C

1 12

C

1 4

=48（種）選法，
所以選出的2人為“黃金幫扶組”的概率為

48

120

=

2

5

．

點評：本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識．直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1．同時也考查了古典概型的概率計算；解題的關(guān)鍵是讀懂頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)．