Question

【題目】已知橢圓()的焦距為2，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓的面積為，求△的面積；

（3）已知，為圓上一點(diǎn)(在軸右側(cè))，過作圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)，試問△的周長是否為一定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是，.

【解析】

（1）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得，再由點(diǎn)即可求得、，即可得解；

（2）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得△的周長，再由（為內(nèi)切圓半徑）即可得解；

（3）按照斜率是否存在討論，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，由兩點(diǎn)之間距離公式、橢圓性質(zhì)可得焦半徑、，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式可得，再由直線與圓相切可得，代入運(yùn)算即可得解.

（1）由橢圓焦距為2可得，，

又過右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，，

不妨設(shè)點(diǎn)，則，解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）由題意△的周長，

又△的內(nèi)切圓的面積為，所以△的內(nèi)切圓的半徑為，

所以△的面積；

（3）由題意，圓心為，半徑為，

若斜率不存在時，不妨設(shè)點(diǎn)，

此時△的周長；

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，

則即，

則，

同理，，

由消去y得，，

則，

由直線與相切可得，即，

所以

，

因?yàn)?/span>在軸右側(cè)，所以，

所以

，

所以△的周長

；

綜上，△的周長為一定值，且周長.