Question

某種家用電器的銷售利潤(rùn)與該電器的無(wú)故障使用時(shí)間有關(guān)．每臺(tái)這種家用電器，若無(wú)故障使用時(shí)間不超過(guò)一年，則銷售利潤(rùn)為0元；若無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)一年不超過(guò)三年，則銷售利潤(rùn)為100元；若無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)三年，則銷售利潤(rùn)為200元．己知每臺(tái)這種家用電器無(wú)故障使用時(shí)間不超過(guò)一年的概率為

1

5

，無(wú)故障使用時(shí)間超過(guò)一年不超過(guò)三年的概率為

2

5

．記ξ表示銷售兩臺(tái)這種家用電器的銷售利潤(rùn)總和．
（Ⅰ） 求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)“函數(shù)f(x)=x2-

1

100

ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”為事件A，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分析可得ξ的可能取值為0，100，200，300，400；由相互獨(dú)立事件的概率，計(jì)算可得ξ取不同值的概率，即可得其分布列，進(jìn)而有期望的求法，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）依據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f(x)=x2-

1

100

ξx-1的對(duì)稱軸x=

1

200

ξ≤2，可得∴

f(2)＜0 f(3)＞0

，解可得ξ的范圍，結(jié)合（Ⅰ）的分布列，可得ξ的值，同時(shí)可得答案．

解答：解：（Ⅰ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

，
P（ξ=100）=2×

1

5

×

2

5

=

4

25

，
P（ξ=200）=2×

1

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=300）=2×

2

5

×

2

5

=

8

25

，
P（ξ=400）=

2

5

×

2

5

=

4

25

；
隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	100	200	300	400
p	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

所求的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

1

25

+100×

4

25

+200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240（元）
所以隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望為240元．
（Ⅱ）∵函數(shù)f(x)=x2-

1

100

ξx-1在區(qū)間（2，3）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且對(duì)稱軸x=

1

200

ξ≤2
∴

f(2)＜0 f(3)＞0

得150＜ξ＜

800

3

，
于是ξ=200，
∴P(A)=P(ξ=200)=

8

25

因此事件A發(fā)生的概

8

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，要求學(xué)生不但能夠計(jì)算，還要會(huì)進(jìn)一步的應(yīng)用；解題時(shí)注意（Ⅱ）要依據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論．